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\title{\heiti\zihao{2} 习题8.1}
\author{中书君}
\date{\songti 2021年1月13日}

\begin{document}
\maketitle
\section{求由 $y=x^{2}$ 及 $y=x$ 所围成的平面图形的面积.}
\textbf{解}\quad
其为$\int_{0}^{1} x-x^{2} \mathrm{~d} x=\frac{1}{6}$

\section{求由抛物线 $x=y^{2}$ 与 $x=8-y^{2}$ 所围图形的面积.}
\textbf{解}\quad
先求交点为$2，-2$从而面积为$\int_{-2}^{2}\left(8-y^{2}-y^{2}\right) \mathrm{~d} y=\frac{64}{3}$

\section{已知 $y^{2}=2 p x$ 和 $x^{2}+y^{2}=2 R x$ 交于 $O, A, B$ 三点,求 $p,$ 使得由 $y^{2}=2 p x$ 与弦 $\overline{A B}$ 所围图形的面积达到最大,并求其最大值.}
\textbf{解}\quad
先将两个式子联立，从而解出两个交点：
$$
x^{2}+2 p x=2 R x, x=\frac{R-p}{2}, y=\pm \sqrt{p(R-p)}
$$

从而有：
$$
\begin{aligned}
    S&=\int_{-\sqrt{p(R-p)}}^{\sqrt{p(R-p)}}\left(\frac{R-p}{2}-\frac{y^{2}}{2 p}\right) \mathrm{~d} y\\&= (R-p) \sqrt{P(R-p)}-\frac{(R-p) \sqrt{P(R-p)}}{3}\\&=\frac{2}{3}(R-p) \sqrt{P(R-p)}
\end{aligned}
$$

再对$p$求导，得
$$
S^{\prime}=\frac{(\sqrt{R-p})^{3}}{3 \sqrt{p}}-\sqrt{p(R-p)}
$$

令$S^{\prime}=0$，得$p=R(舍)或P=\frac{R}{4}$，验证可得其为极大值点。

从而最大面积为$S=\frac{\sqrt{3}R^2}{8}$

\section{在曲线 $y=\sqrt{x}(x \geqslant 0)$ 上一点 $M$ 作切线,使得切线、曲线以及 $x$ 轴所围的平面图形 $\mathrm{~d}$ 的面积为 $\frac{1}{3},$ 求切点 $M$ 的坐标.}
\textbf{解}\quad
设切点为$M(a,\sqrt{a})$，则切线为$x = 2 \sqrt{a}(y-\sqrt{a})+a$
$$
S=\int_{0}^{\sqrt{a}}( y^{2}-2 \sqrt{a} y+a) \mathrm{~d} y=\frac{1}{3}a^{\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}
$$

解得$a = 1,M(1,1)$

\section{计算星形线 $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$ 所围图形面积.}
\textbf{解}\quad
令 $x=a \cos ^{3} t, y=a \sin ^{3} t$

$$
S=4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} a \sin ^{3} t \cdot 3 a \cos ^{2} t(\sin t) \mathrm{~d} t=12 a^{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^{4} t-\cos ^{6} t\right) \mathrm{~d} t=\frac{3}{8} \pi a^{2}
$$


\section{求圆 $\rho=\cos \theta$ 与圆 $\rho=\sqrt{3} \sin \theta$ 所围公共部分的面积.}
\textbf{解}\quad
由于圆与圆最多只有两个交点，先求交点：$\cos \theta=\sqrt{3} \sin \theta，\theta \in(0,\pi)$

从而解得$\theta = \frac{\pi}{6}$，从而有
$$
S=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos ^{2} \theta \mathrm{~d} \theta-\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} 3 \sin ^{2} \theta \mathrm{~d} \theta=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} 1-4 \sin ^{2} \theta \mathrm{~d} \theta=\frac{3 \sqrt{3}-\pi}{12}
$$

\section{求双纽线 $r^{2}=a^{2} \cos 2 \theta$ 所围成图形的面积.}
\textbf{解}\quad
$$
S=4 \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} a^{2} \cos 2\theta \mathrm{~d} \theta=a^{2}
$$

\section{求四叶玫瑰线 $\rho=a|\sin 2 \theta|(a>0)$ 所围图形的面积.}
\textbf{解}\quad
$$
S=4 \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} a^{2} \sin ^{2} 2 \theta \mathrm{~d} \theta=\frac{\pi a^{2}}{2}
$$

\end{document}